Dimensione di Minkowski-Bouligand

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Nella geometria frattale la dimensione di Minkowski-Boulingand, nota anche come dimensione di Minkowski o dimensione del conteggio delle celle, è un mezzo per determinare la dimensione frattale di un insieme S in uno spazio euclideo ${\displaystyle R^{n}}$, o più in generale in uno spazio metrico (X, d).

Per calcolare questa dimensione di un S frattale, si immagina che questo frattale si trovi su una griglia diffusa su tutto lo spazio, e si conti quante celle sono necessarie per coprire l'insieme. La dimensione della misura di celle viene calcolata osservando come questo numero cambia quando la griglia è resa più fine.

Supponiamo che N(ε) è il numero di celle di lunghezza laterale ε necessarie per coprire l'insieme.

Allora la dimensione della misura delle celle è definita in questo modo:

${\displaystyle \dim _{\rm {box}}(S):=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}}$

Se la convergenza del limite non esiste, allora bisogna parlare della dimensione superiore delle celle e della dimensione inferiore delle celle che corrispondono rispettivamente al limite superiore e al limite inferiore nella suddetta espressione. In altri termini, la dimensione della misura delle celle è ben definita solo se la dimensione superiore e quella inferiore delle celle sono uguali. La dimensione superiore delle celle è qualche volta chiamata dimensione dell'etropia, dimensione di Kolmogorov, capacità di Kolmogorov o dimensione superiore di Minkowski mentre la dimensione inferiore delle celle è chiamata dimensione inferiore di Minkowski.

Entrambe sono fortemente legate alla più popolare dimensione di Hausdorff. Solo in applicazioni veramente specialistiche è necessario fare una distinzione fra tutte e tre. Si vedano le relazioni con la dimensione di Hausdorff per maggiori dettagli. Inoltre, un'altra misura delle dimensioni frattali è la dimensione di correlazione.